NO.10420677

0 名前：最終皇帝＠ﾌｧｲﾅﾙ代ゼミ団長 ◆Maki/RZM：2003/11/04 09:37

とりあえず、私（団長）は数３Ｃを始めるのでアドバイス宜しく(*^ーﾟ)ﾉ
私の数学のレベルは　数学?Ａ?Ｂ　＜Ｂ＞　が半分解ける程度なのであしからず。。。

数学の問題をみんなで解き合ったり、数学についての面白い話をするスレです。
数学が出来る出来ないは関係ありません。好きであればＯＫです。
( ´Д｀)人(´Д｀ )ナカマァ～

!!!暇つぶしになるような問題提供大歓迎（じゃんじゃん書き込め）!!!
【育成プログラム】提供者大募集。

じゃあ、後は任せた!!!!

89 名前：匿名さん：2004/03/31 14:02

>>88
なんか易しすぎることばっかやってない？

90 名前：匿名さん：2004/04/01 11:41

>>87
「それぞれの桁数の和」じゃなくて「各位の数の和」だろ。>>88も同様。

んで証明。100a＋10b＋c＝3(33a＋3b)＋(a＋b＋c)。

91 名前：G2：2004/04/01 15:38

「この文には0が□回、1が□回、2が□回、3が□回、4が□回、5が□
6が□回、7が□回、8が□回、9が□回でてくる」

初級「四角の中に数字を入れて文章を一つ完成させよ」

中級「文章を２つ完成させよ」

上級「この文には2つしか文章が作れないことを証明せよ。」

>>89　レベル別にした
>>90　正解、俺は結構悩んだ。

92 名前：G2：2004/04/01 15:53

ちなみに上級の奴は証明の文を読むだけで気が狂う。
中級まで解ければ日能研のあの広告並の柔らかさだと思う。

93 名前：匿名さん：2004/04/03 16:50

文章の定義ｷﾎﾞﾝ・・・

94 名前：G2：2004/04/03 17:36

>>93
そのまま、途中までアテ勘でもいい

95 名前：G2：2004/04/04 06:24

よくわからなかったら紙に書き出して全部の四角に１を代入してみればなんとなくやることが見えてくる。（気がする）

96 名前：匿名さん：2004/04/04 15:28

円周率ってさぁ　正ｎ角形でしょうめいするんじゃ？
複素数の概念で　n→∞｜z^n｜を直径で割ればいいから
半径１の単位円を考えて、この円周が正n角形の全ての辺の和と等しいと考えて
円周率をπとして
π=n→∞｜z^n｜/2
ってあらわせるとおもいます

97 名前：∫1/x dx：2004/04/04 18:01

　去年、東大で円周率が3.05よりも大きいことを証明する問題がでたよね。（多分問題の内容は合ってると思うが…）
　あれはさ、多角形で近似してやるわけだけども、正24角形で計算すればできるよね。
　正24角形にすると、一つの三角形の中心角が15度になるけど、加法定理を使えば、
sinやcosの15度もすぐ出てくるから大丈夫だ。

　すまん、「円周率」という言葉を見た瞬間に去年の東大の問題が頭に浮かんで、語り出してしまった。
　前の人の話に全然対応してなかった。

　みんなで97>の人のいうやり方で円周率を求めてみよう。ワシもやるぜ。

98 名前：匿名さん：2004/04/04 18:04

２４角形でどうやるの？

99 名前：∫1/x dx：2004/04/05 00:38

　それともう一つ。

　何年か前の東工大の問題に、「xy平面において、原点中心の半径2の円に接する、点(3,0)を中心とする
半径1の円がすべらずに半径2の外周を転がる時、はじめ半径1の円周上にあった点(2,0)が描く軌跡を求め
よ」ってのあったべ。この問題では点(2,0)の描く軌跡（結果はカージオイド）だったけど、もし点(2,0)
と半径1の円の中心を結ぶ線分の中点の軌跡だったらどうなるかな？興味がある人はやってみてくれ。

　まあ、結果を言っちゃうと、ひょうたんのようなカタチになる。実はこれは、F1とかで使われている、あの
「ロータリーエンジン」のカタチになるんじゃ。（ワシの記憶が正しければ、おそらくそうだ）

　おしまい。また、気が向いたら現れるわ。

100 名前：∫1/x dx：2004/04/06 04:43

　なぬ？　解法を示せってか？　お暇したばかりなのに。

　じゃ、このあと、私の解答を載っけます。

101 名前：∫1/x dx 98の解答:1/2：2004/04/22 14:15

　いま、単位円に内接する正24角形について考える。
　更に、そのような正24角形を構成する、全24個の二等辺三角形について考えると、
　　　　1個の二等辺三角形の面積は
　　　　　1/2 × 1 × sin(π/12) = 1/2 × sin(π/4-π/6)
= 1/2 × (√6-√2)/4
= √2/8 (√3-1)
したがって、単位円に内接する正24角形の面積は
　　　　　√2/8 (√3-1) × 24 = 3√2 (√3-1)

102 名前：∫1/x dx 98の解答:2/2：2004/04/22 14:35

　ここで、単位円の面積をπを使って求めると
　　　　　π × 1 × 1 = π
　したがって、次の不等式が成り立つ
　　　　　π > 3√2 (√3-1)………?
ここで、3√2=4.24...、√3-1=0.73....であるので、?式において
　　　　　(右辺)=3.10368... となる
　つまり、?←→π > 3.10368
　よって、πは3.05より大きいことが示せた。

103 名前：匿名さん：2004/04/23 09:19

>>102
>ここで、単位円の面積をπを使って求めると
>　　　　　π × 1 × 1 = π

これって証明無しで使って良いの？
東大の問題作成者は「円周率」としか書いてないから「円周率とはどのような量であると定義するか？」についてはっきりしないのではあるけれど。

「円周率は『円周の長さを直径で割った値』」であると定義すると、単位円の面積がπである事は証明が必要でしょ？（まぁ、積分使えば簡単に出来るけど）

なお、周の長さでやるんなら正８角形で十分。僕は「正12角形の方が計算し易い」と思ってるけど。

104 名前：匿名さん：2004/04/23 09:23

内接する正多角形よりも内接する二次曲線で近似するほうが好きだな

105 名前：∫1/x dx：2004/04/24 16:27

　104＞さんが指摘してるトコだけど、ワシもどうしようか考えた。
　ただ言い訳をさせてもらえば、皆さんもご存知の通り、打ち込むのが大変なのだ。
　したがって、掲示板上では省略。
　もちろん、実際の試験では、この問題は丸ごといただきも可能な問題なので、104＞さんが
指摘したトコもちゃんと書きます。
　それと、105＞へ。
　ただ意見を言うんじゃなくて、解答みせてくれ。頼むぞ。
　最後に、みんなへ。
　東工大の方も注目しよう→>>99

106 名前：匿名さん：2004/05/14 14:41

の

107 名前：104：2004/06/11 16:19

>>105
了解♪
で、僕は周の長さでやる方法しか考えてなくて、面積で比較する方法は思いつかなかった。>>101-102は参考になります。

108 名前：１０５：2004/06/11 16:20

＞＞１０６（方針だけ示す）
原点を中心とする半径１の円をC、円周上の点（０、１）をP、（√２／２、√２／２）をQとおく。
上に凸の点Qを通り点Pで円Cに内接する放物線（軸はX＝０）をY＝F（X）とおく。
条件からF（X）が決まる。
ここで（０＜X＜√２／２）において円Cが放物線より上側にある（あとで証明）とき
線分OPと線分OQと放物線で囲まれる面積をSとすると
扇形OPQ＞Sが図形的に明らか。
この不等式は積分などにより計算すれば８√２ー２＜３π。
上側に有る証明は
原点と、放物線上の点（x,y）との距離をxで表し、
その距離の二乗が０＜x＜√２／２において１より小さいことを示せば良い。

109 名前：インク：2004/08/08 15:57

なお　１０９において、点Qは第一象限の円周上のどの点でもよい。
つまりQ＝（cosθ、sinθ）　０＜θ＜π／２として計算できる
１０９の扇形OPQ＞Sの不等式をθで表すと
３π＞８cosθー２sinθcosθ＋４θ　
上式の右辺はθの増加関数なのでθがπ／２により近い方が近似は正確です
計算上θ＝π／３くらいが妥当かも←正多角形で近似よりはかなり正確でしょ
上に凸の４次曲線や６次曲線などでもっと近似できるかも　
　　　　

110 名前：∫1/x dx：2004/08/08 15:59

　入試が迫ってきました。

111 名前：匿名さん：2004/08/08 16:04

なんでこのスレ最近盛り下がってんの？

112 名前：匿名さん：2004/08/08 16:08

http://village.infoweb.ne.jp/~fvgm9250/

113 名前：∫1/x dx：2004/08/08 16:15

　みんな入試で忙しくて、問題提供者も解答者も誰もいなかったから。>>112

114 名前：∫1/x dx：2004/08/08 16:16

　まちがって Enter 押して書き込んじゃったんで、続ける。
　･･･（114の文章）と思う。ワシも忙しかったのじゃ。分かってくれ。

115 名前：インク：2004/08/08 16:21

おもしろい問題見つけたんだけど、ちょっとみんな解いてみてくれない？

A地点から出発して、10km離れたB地点まで歩く。
歩く速さが歩いた距離の１次関数となるように歩き、
A地点、B地点での速さがそれぞれ6km/h、4km/hであったとき、
歩くのにかかった時間はいくらか。

116 名前：匿名さん：2004/08/09 21:01

普通に2h？

117 名前：インク：2004/08/10 03:43

＞普通に２h？

それは恐らく
平均の速さ＝(4+6)/2=5だから、10÷5=2hと考えたんでしょうけど、
残念ながら不正解。
速さは時間でなくて歩いた距離に依存するため、
5km/hより大きい速さで歩いている時間と5km/hより小さい速さで歩いている時間とでは
前者の方が短いので、単純に平均を取ることはできません。
もう一度よく考えてみて下さい。

118 名前：G2：2004/08/14 20:30

25/12h?
化学の要領で計算したんだが・・・

119 名前：インク：2005/01/19 19:45

＞25/12h？

残念ながら違います。
というかどういう風に計算したのか気になるので
もし良かったら道筋もうpしてもらえますか？
誤りの指摘等もして差し上げられますし。

120 名前：◆Ushi6mo.：2005/01/28 15:07

(10/6＋10/4)×1/2だと思われ

121 名前：G2：2005/01/28 15:08

いや、間違ってるんなら今更言うことないけど、一応
縦軸にkm/hを逆にしたh/kmをとって
横軸にkmを取ったグラフを書いて
あとは台形公式

122 名前：インク：2005/01/31 19:12

>121
違います。
単純に平均を取ってはいけません。

>122
方針はかなりいいけど、その場合グラフは直線的にならないよ？
だから台形公式は使う余地が無いかと…。

123 名前：G2：2005/01/31 19:17

y=1/0.2x+6と置いて0から10までインテグラル
結果がlog3/2
あたってる気が全くしない
でもってこれがだめならギブ

124 名前：インク：2005/02/01 09:32

＞124
すげーおしい。
yの立式もう一度よく考えてやってみて。
そこでギブはもったいない。

125 名前：匿名さん：2005/02/03 16:14

5log(3/2)でしょ？

126 名前：インク：2005/02/05 18:04

＞１２６
正解！

一応解答うpしときます。

A地点から歩いた距離をx,それまでにかかった時間をtとおくと、
dx/dtはxの１次関数で、x=0,10における値が6,4なので dx/dt=6-x/5
∴dt/dx=5/(30-x)で、両辺をxで積分してt=-5log(30-x)+C (Cは積分定数)
x=0のときt=0だから、C=5log30 ∴t=-5log(30-x)/30
x=10を代入して、所要時間は-5log20/30=5log3/2

どうだった？結構おもしろい問題だと思わない？

127 名前：126：2005/02/08 14:07

dx/dtとdt/dxをひっくりかえすのに、なかなかきづかなかった。
なかなかおもしろい問題だったです。
（なんで答えしかかかなかったかというと、自信がなかったから）

128 名前：成宮　（東大理一志望）：2005/02/08 14:09

簡単すぎ

129 名前：G2：2005/02/08 14:11

後期終わってひと息。
ここでちと興味深い問題
厚さ0.1ミリの画用紙を100回折り曲げたら高さは大体何mになるか。
簡単な問題だけど答えがすごい。

130 名前：匿名さん：2005/02/13 13:03

>>129
確かにすごい答えになるよね（僕は答え知ってる）
なお、「何m」っていう具体的な数字より、「大体どこからどこまで」っていう譬えの方で答えてもらった方が面白いと思う。例えば「東京から大阪までぐらいの距離」とか←これは答え方の一例であり、正解ではありません。

131 名前：匿名さん：2005/02/15 14:19

>130
なんか前にテレビでやってたような・・？

132 名前：ヒロ：2005/02/23 12:26

＞１３０
log2=0.30で計算したら10^26(m)になりました。
天文学的数字ですな。
大体地球25週くらい？

133 名前：匿名さん：2005/02/25 15:20

確か月まで届くんだよな。

134 名前：匿名さん：2005/02/26 16:09

>>132
数字的にはそんなもんだけど、地球25周じゃすまんでしょ。

>>133
余裕で届く（笑）銀河系の端から端までも余裕で届くはずだよ。

>>129さん、勝手にコメントつけてスマソ。

135 名前：匿名さん：2005/02/28 12:44

>>134は>>130でした。

136 名前：ヒロ：2005/02/28 12:49

銀河系の直径以上か、等比数列はやっぱ強力だな。

137 名前：G2：2005/03/18 09:49

答えはわかってると思うけど10^26
だいたい100億光年（八ップル望遠鏡の限界距離）
でもって次の問題
次の式のA,B,C,Dの値を求めよ。
AA×BCB=DDDD

138 名前：リプレイ：2005/03/18 09:49

＞＞１３８ABCDは０から９の整数と考えてよいなら
C＝０、AB＝Dを満たす整数はとりあえずOK
ABCD＝（０、０、０、０）（１、１、０、１）（２、１、０、２）など
２４通りある