NO.10389612

0 名前：文系です：2004/04/05 02:05

文系の宅浪志願者です。（この春、数々の予備校を見学）

大手予備校の数学講師の方々が口にする「数学の本質」って
一体、何なのでしょう？
「本質をついた講義」、「本質を理解させる授業」云々、
喧伝されていますが、どうもピンとこないんですよねえ。

例えば、英語、国語等語学系科目の本質って
「何がいわれているか、わかるようにする」
社会系諸科目の本質って
「諸事象の社会的意義と、その原因」って要約できそうですが、
これが数学だと、どうもわかりません。
数学に対する知識があんまりないせいなのかもしれませんが・・・

数学って言い方だとひろすぎるんで、限定してみます。
例えば、数?における二次曲線問題の本質って何でしょうか？
または、整数式問題の本質とは何でしょうか？

もうひとつの、いやな可能性、
予備校講師の語る「数学の本質」って、
本当の意味は「詳しく説明しますよ」を格好よく言ってるだけ。
そうでないことを祈りたいのですが・・・

数学の本質って、何なんだあ～

1 名前：匿名さん：2004/04/05 05:44

本質をついた授業とかってたいていはただの宣伝文句。
なんでもかんでもアミノ酸って宣伝してたりするのと同じ。
その分野を何十年もかけて勉強してる人がいるのに（整数論とか）
たかが予備校講師の授業で本質とかわかるわけないと思う。
わかった気になってるだけかと。

2 名前：匿名さん：2004/04/05 08:55

本質というのは、いわゆるそのものの性質を明らかにするということ。
数値に関係なく成り立つものなど。証明された事実に基づく性質。
確かに上に言うとおり「数学の本質」は言いすぎだと思う。
単に宣伝文句と取られても仕方がない。
もし数学の本質を敢えて挙げるなら、数学基礎論みたいなモノかな。いわゆる論理学。

しかし、予備校講師の言う程度の本質とは、
「問題の本質」というなら少しは話がわかるのだがね。
せいぜい問題の解答のミソにあたるもの。それくらいで本質とかぬかすな。
ただし「詳しく説明しますよ」と言うのとは全く無関係ですね。

3 名前：匿名さん：2004/04/05 13:49

予備校講師を程度といえるあなたは一体何者？

4 名前：匿名さん：2004/04/05 14:26

本質なんて定義されて無いも同然の語。
各自が独自の定義（思い込み？）で使っているのでは？
講師も，それを聞く受験生も，またそれを聞く第三者も。
このレスは意味が無いように思える。

以上，僕の思い込みでした。

5 名前：匿名さん：2004/04/06 20:44

なんせんす

6 名前：匿名さん：2004/04/06 23:24

受験生にお金を払わせる魔法の言葉です

7 名前：匿名さん：2004/04/07 05:25

5は素晴らしいね～｡非難するだけ非難して自分の逃げ場は確保する｡

8 名前：匿名さん：2004/04/07 07:21

数学は定義の議論です。

定義・・・それこそが本質です。

9 名前：匿名さん：2004/04/07 10:08

１７は最もなこといった。

10 名前：匿名さん：2004/04/07 10:09

うん、そうかも。スマートな論理になるように
定義していくからね。

11 名前：3=7=12=13=24：2004/04/10 11:21

もちろん数学における本質は「定義の議論」であろう。
数学は定義することから始められることだとすると、
受験数学に於いては「数学の本質」は存在しないことになるね。
すべて、答が必ず一つ(以上?)存在し、与えられて始まる数学なのだから。

数学の専門家の話だね。「定義の議論」モットモだと思います。
大学の理学部出た頃に分かってくる話ですよ。
文系の宅浪志願さんには、すでに縁遠い話になっているかも。
何回も言うけど、「数学の」本質は受験からはかなりほど遠い話。
予備校講師の言っている程度の本質とは「問題の」本質のことで、
「それらの性質を支配する事柄」これはけっして数学の本質ではない。
でも、これは、他の教科学問についても言えるのではないかな？

12 名前：１７：2004/04/11 09:34

数学は将棋と似ていて
数学の問題を解くことは本質のように見えますが、
将棋で言う「詰め将棋」が数学の問題を解くことにあたるわけです。

しかし将棋の本質は「詰め将棋」ではありません。対戦することが将棋の本質です。
数学の場合は17で言ったように「定義の議論」が本質だと思いますが

ちなみに数学解法暗記っていうのは将棋の世界でいう「定石」です。
詰め将棋を定石で解く。。。ある程度は可能だと思います。しかし見た事も無い問題はその場で考えてすっとうまくいくようにしなければなりません。

13 名前：１７＝２５：2004/04/11 09:43

「青茶」「一対一対応」などなどは「詰め将棋本」です

すぐに数学で解答を見てしまう人がいますが「詰め将棋」ですぐに解答をみたって力なんかつきません

また予備校の授業についても同じことが言えます。

予習せずにぼけっと授業を聞いているだけ・・・・。これは羽生などの将棋の対戦をＮＨＫなどで眺めているのと同じ事だと思います
しかし自分で手を動かして出来る限りの事を考えてうまい人の「手」を見る。これが「受験数学の本質」です。(あくまで受験数学)

14 名前：１７＝２５＝２６：2004/04/11 09:48

0.999999999999999・・・・＝１

これをどう思いますか？

15 名前：１７＝２５＝２６＝２７：2004/04/11 09:52

これはすばらしい数学の先生が言っていたことなんですが

　x＝0.9999999999999・・・・＝１…?　これを１０倍して
10x＝9.9999999999999・・・・　…?　　?－?で

9x＝9　x＝１　となります。不思議でしょ？？？

数学って面白いと思いませんか？

16 名前：匿名さん：2004/04/11 09:53

「本質を突き詰めていくと、玉ねぎの皮むきのように何も無くなってしまう。」
養老 孟司先生の昔書いた本にあります。私はこの考えには全面的には同意しませんが、
どこから本質でどこから本質でないかと考えるのはあまり意味がないとする考え
には同意します。より本質なり中心なりを求めていく態度には意味があるが、
これが本質だと思った瞬間にそれは、本質ではなくなってしまうのではないでしょうか。
２つのものを比較したときに、どちらがより本質的なのか議論するのは意味があるが、
絶対的な本質があるとするのは、もはや、哲学や宗教の問題だと思います。

スレの要旨からはずれていますね。
予備校数学講師の「数学の本質」を絶対的な本質だととらえれば、営業上の言葉になりますが、
通常の受験生が独学では到達できないものとして、比較の上での「より本質の数学」だととら
えれば、目くじらをたてるほどのことでもないと思います。
ただし、数学の本質というからには、全ての受講生を納得させるものじゃないといけません。
これは、大変なことだと思います。

17 名前：宅浪志願：2004/04/11 14:32

＞１７＝２５＝２６＝２７様

×が「かける」に見えてしまってわかりにくかったんですが、
エックスですね？
自分で手書きで書き写して確認してしまいました。
（ついでに、Ｘを１にしたり、２にして同じ計算をしてみました）
ホント、マジ不思議、何で、何で、０．９９９９…がホントに１に
なっちゃったよ！　なぜなのか理解できないけど、オモシロイ！

そうそう、「定義の議論」という方向になってきていますが、
大数学者（有名数学者）って、
論文読んだことないからわからないのですが、
世間的には「定義」でなく、「誰々の定理」って形で知られていますよね。
僕みたいな全くの数学無知一般人からすると、
「定義」よりも「定理」を発見するほうが数学者ってイメージありますが
どうなんでしょう？
それとも、この「定理」が成り立つためには、こういう条件でなければと
「定義」付けが膨大な作業となってるのでしょうか。

18 名前：宅浪志願：2004/04/11 14:46

＞２９様
なるほどって感じですね。
柔道とか、剣道とか、茶道とか、
「～道」って付くものの技を極めているベテランって、
高度な技術者というよりも、「道」＝「本質」を体得している人って
雰囲気ありますからね。
それでいうと、「受験数学道」の達人の技＝「本質らしきもの」って
ことなのかもしれないですね。

19 名前：17=25=26=27=28：2004/04/11 15:41

そうです。エックスです。わかりにくくてすみません。

定義と定理かぁ・・・・

例えば辞書で「数学」って調べるとします
【数学】数量および空間に対して研究する学問の総称

と出てきます。ここで空間という言葉がわからなく、今度は「空間」という言葉を調べるとします。
【空間】あいているところ。隙間。

と出てきて、隙間という言葉がわからなく、今度は「隙間｣を調べるとします。すると
【隙間】すき

と出てきます。このように辞書で何かを調べてまた調べてを繰り返すと必ず言葉で表せなくなってきます。
これが【定義】にあたると思いますが。。。。。

20 名前：17=25=26=27=28=32：2004/04/11 15:46

ちなみにわかりにくかったそうなのでもう一度

【問題】0.999999999999999………＝１ は成り立つ事を証明せよ

【解】
Y＝0.9999999999999……… …?　とおく

?を10倍して

10Y＝9.99999999999………　　　…?　とおく

?-?で

9Y＝9⇔Y＝1　よって成り立つ

21 名前：17=25=26=27=28=32=33：2004/04/11 15:48

ちなみにこの証明は成り立つかどうか謎です。

これが【極限】の考え方の基本です。

22 名前：匿名さん：2004/04/11 18:31

これは有名な欠陥があるんだよ

23 名前：宅浪志願：2004/04/12 02:06

＞17=25=26=27=28=32=33=34様

丁寧な再掲大変ありがとうございます。とても見やすいです。
で、これって
Ｙ＝０．２２２２・・・
１０Ｙ＝２．２２２・・・とやると
Ｙ＝２／９＝０．２２２２・・・とちゃんとなるんですよね。
０．３３３・・・も他のも同様ですし。
なんで０．９９９９・・・だけが１になるのか、
ホント、謎、謎です。
数学の研究者達ってどうやってこの謎とらえるんだろう。

＞３５様
欠陥があるんですかあ。う～ん、中学数学の計算がわかる程度の
僕の頭では、ちょっと見つけられない、う～む

24 名前：17=25=26=27=28=32=33=34：2004/04/12 10:08

35さんの言うとおりこれは「ごまかし」があります。

「限りなく1に近づき１には接しない」これが真実です。
この考え方を極限といいます。limとよくあらわしますね

25 名前：3=7=12=13=24=38：2004/04/12 11:07

３５番さんの言う欠陥とは
小数点以下、『無限に』１０倍することは出来ないと言うことでしょ？
(つまりどこまでも無限にかけ算をする操作はできないということ)
これは有限な数なら絶対成り立ちませんからね。

つまり、小数第５位までとして考えてみます。
ｘ＝０．９９９９９
１０ｘ＝９．９９９９
としても引き算すれば、
９ｘ＝９．００００９
となって決して９にはなりませんものね。

そんなことをしなくても、数学?の無限等比級数の公式を使えばいいのです。
S＝a／１－ｒ
の公式において、初項ａ＝０．９、公比ｒ＝０．１とすればいいことで。

実はこれも、同様に数学?のこの無限等比級数の公式が、
「有限の数の和をとって、それをｎ→∞とすれば無限和がもとめられる」
というところに根本的な実は「ごまかし??」があるのですよね。


ちなみに私立の有名中学なら、
「０．９２８４９２８４９２８４…を分数に表せ」
という問題くらい常識問題ですからね。これまた。どうでもいいですが。

26 名前：3=7=12=13=24=38=39：2004/04/12 11:13

詰め将棋にたとえられたことの意味がイマイチ分からないのですが。
まあ。いいや。

３０宅浪志願さんへ「定義付け」こそ数学の本質です。
つまり、数学の教科書に書いてあることはすべて逆に考えられてきたわけです。
数学の定義は、実は天下り的に定義されているわけです。

三角比で言うと、「正弦定理」「余弦定理」が成り立つことが分かって
ｓ^2＋ｃ^2＝１、ｔ＝s/cが必要になるから、
sin＝高さ／斜辺　cos＝底辺／斜辺　tan＝底辺／高さ
とする定義がもっともシンプルかつ数学的な面白さがあると
判断されたのだろうと思います。
それにtanも直線の傾きを意識しているような気もするし。
ゆえに「定理」→「定義」の流れは実は数学が創られる流れなのです。

行列の和と積についても同様です。
単純に行列の成分同士掛け合わせるだけなら、
行列にする意味がなくて、何ら実数と変わらないですからね。

＞【数学】数量および空間に対して研究する学問の総称
辞書に出ているのだろうけど。↑は数学を全く知らない人が考えたのだろうね。きっと。

27 名前：3=7=12=13=24=38=39=40：2004/04/12 11:18

つまり「面白い定理が出てこなければ、定義する数学的意味がない」ということ。

28 名前：3=7=12=13=24=38=39=40=41：2004/04/12 11:21

ちなみに38にかいた問題あたりは「伊東家の食卓」でもやってたよ。みんな見た？

29 名前：匿名さん：2004/04/20 16:33

終わったの？このすれ。

30 名前：匿名さん：2004/04/20 17:56

てすと

31 名前：匿名さん：2004/05/04 15:26

東大に合格してからじっくりゆっくり考えてくれ

32 名前：匿名さん：2004/05/05 04:12

　三角比の由来
余弦定理で90度の場合、a^2+b^2=c^2の両辺をc^2で割る
→斜辺１の直角三角形を単位円上、変数シータで動的に整理
と家庭教師で利便性を教えるけど、確かに豊かな実り（定理・発展性）
があることが前提ですねえ。

33 名前：匿名さん：2004/05/10 14:10

理学部数学科に合格してからじっくりゆっくり考えてくれ

34 名前：１：2004/05/14 16:11

スレ主です。
１の最初の発言で英語・国語等語学系の本質
「何がいわれているか、わかるようにする」
社会系諸科目の本質
「諸事象の社会的意義と、その原因」ってのを示して見たんですが、
これって小学校中学校高校大学と大体どこでも通用することだと思うし、
さらにいうと、この「本質」部分を意識していることが、
実力養成にも有効にはたらく、といった意味で提起し、
数学でも同様のことがないかどうか、考えてみたのですが、
ピンとくるもの、心底納得できるもの、なかなか出てこない・・・

小学校の算数の教科書、中学・高校の数学の教科書、
どれも極端な差はなくて、文系諸科目に比して共通部分が大きいから
比較的「本質」って出やすいかと思ったのですが、
「定義」、「大学にはいってから考えろ」ってことは、
高校生以下で学ぶ数学に「本質」ってのはないってことなんでしょうか？
いや、もっとシンプルで、小学生レベルにもちゃんとわかる納得できる
本質ってあるはずだと思うのですが、どうも僕自身よい考えが思い浮かばず…

暫定案「正しい手順に従った分解と組み立て」、うーむどうでしょう？

おまけ、あらゆる球技の本質「体力とボールコントロール」

35 名前：匿名さん：2004/05/14 17:01

大学に入ってから考えるってのは
高校生以下には本質はないってこととは違うと思う。
大学入試には関係ないから、時間ができたらゆっくり考えよう。
というくらいの意味なのでは？

数学は「定義する」ことに本質があるってのは
かなり的を得ていると思いますよ。

高校生以下にも定義はある。
行列の定義やベクトルの内積(外積)など。

小学校中学校でも定義されている事柄が実はあって、例えば
「ＡまたはＢ」って数学的な意味合いと日常使う数学の意味合いって違うでしょ？
こういうことにも定義って実は数学的な定義がなされているのですよね。

36 名前：匿名さん：2004/05/15 02:17

>1
国語や社会科学においての本質についても捉え方が間違っていると思いまつ。
学問なんかは、研究者が鋭意積み上げて来た思考の累積がある訳で、
累積を考えていけば、それぞれの研究者が面白いとか意味があるという
ことなので、学問に対する本物の面白みが出る。
しかしながら、高校の学問はそんなことをする余裕はなく、いきおい
結果のみの提示、結果を用いて問題を解くことに終始する。
これは数学、国語、社会なんかも同じ。
数学でも定理と定理の連関、なぜそのように考えるように到ったかという
ことを考えていく必要がある。しかし、これも人それぞれで本質というのも
人それぞれの体系がある(ある研究者は、ある定理を本質と関係のないくそ
みたいな定理だと考えていても、その人だけかも知れない)。たとえば地理
においても人文地理とか自然地理とか
もうすっごく体系化されそれぞれの研究者が地理を捉えるために法則などを
考えている。また、経済における需給一致の法則、再生産のことなどは、
ほんの初歩の初歩で、それぞれ分野で一冊以上の解説が必要(それでも
理解出来ないほどの思考の堆積がある)。古文、漢文でも学説が分かれ
解釈に相違が出る場合があるが、そこにも思考の堆積がある。
しかも古文・漢文の読み方においてもそれぞれシステマティック
(個々の研究者)な見方が存在して、それが異なっているのがややこしい。

37 名前：3=7=12～以下省略：2004/05/15 03:33

>50に同意します。
国語英語は元々語学であるのだから、コミュニーケーションとしての性質が
まず第一にあるのだと思いますよ。それが本質かどうかは別としてです。

>49は「3=7=12～以下省略」でした

38 名前：3=7=12～以下省略：2004/05/15 04:02

やっぱり「やや同意」にしておきます。
数学ｅｔｃには？？な部分がある。
>1の国語英語の本質の捉え方が誤っていることのみ同意。

39 名前：匿名さん：2004/05/18 18:24

スレ主へ。
数学の本質を追究して何がどうなるのか教えてほしい。

40 名前：匿名さん：2004/06/07 09:42

数学ってのは、一言で言えば、「道具」です。「道具」。
本郷は田舎だから、駒場に4年間いたいので数学をやってみたり、
専門にするのはどんな理由でも構いませんが、
道具なんですよ、道具。

アインシュタイン（物理）は、トップレベルの数学者を使っていましたが、
アインシュタインはその数学者がいなければ研究できないというのに対し、
その数学者はアインシュタインのお陰で少しは名が売れる、
というような関係になったくらいです。
物理は物理で数学ほどではないにせよ「道具」なので、
アメリカのトップに、「原爆を作れ」と書くように説得されて、使われるわけです。

数学とか物理ってのは、どっちかというと商売に似ていて、
専門家のことを、「数学屋」とか、「物理屋」と呼んだりします。

例えば数学だったら、経済学に使用したり、
物理学だったら化け学、生物学などに使用したりする訳です。

もっと言えば、数学は語学です。数字で語っているわけです。
センター試験のように、答え一発選択方式では、語学性はあまりありませんが、
東大数学なんかを見ると、語学性を強く感じることができます。
なんせ、巨大な真っ白な紙が配られて、それに答案を書きますから。
受験評論家の中にも、数学の答案は小論文の心構えで作れという人がいるくらいです。

41 名前：匿名さん：2004/06/08 22:27

>55
道具として使う方法もある。道具として使えばのはなし。
問題なのは、道具として教わると面白くない場合が多々あること。
考えりゃわかるけど、道具の使い方だけ教わるの面白いかね。
経済学とか、物理習うまで待ってろって言うのかね。

42 名前：匿名さん：2004/06/12 16:13

全く↑分かってないね。大学でしっかり勉強しな。
数学とは構築されるモノだから、出来上がったモノが全てである。
ゆえに、定理よりもそれが成り立つフィールドを成立させる定義が
より数学の本質に近いと思います。論証や推論というのは、
数学の本質ではなく、数学を解く(理解する)ためのプロセスにすぎない。

数学が有する『性質』における本質ならば、おそらく
「論理性」「抽象性」が挙げられるだろうね。

43 名前：匿名さん：2004/06/13 03:41

できあがったものがすべてなら、できあがってないものは数学ではないの？
その定義、弱くないですか？
「プロセスにすぎない」所詮途中の過程は「～すぎない」って
低いものにしか見られないのね。
フィールドが成立してるかどうかわからなくても、
それでも計算や論証作業をしている小中高生の数学に、
数学はないの？

44 名前：数学おじさん：2004/06/13 04:57

ごちゃごちゃ言ってるヤツは何も分かってない。

うんうん考えて悩んで、綺麗な式が出来上がれば、その過程と結果が
本質なんだよ。

間違いない。

45 名前：数学おじさん：2004/06/13 05:02

＞６０
お兄ちゃん、そーゆー話は難しいのよ。
「数学」をどーゆー位置づけに持っていくのかで見方が変わるのよ。
数学は一つだと言う人もいるけど、分野や専門で意見や思想が結構
変わるのよ。

最近（２０世紀、２１世紀）は形式化、一般化、抽象化がやはり第一
だね。でも、これだけが数学じゃないし、形式化というのは一つの
結果であって、それに至る道程も重要で本質。
＞５９
院生ごときが偉そうなこと言っちゃいかんよ。もっと苦労しな。

46 名前：匿名さん：2004/06/13 05:28

「本郷は田舎だから、駒場に4年間いたいので数学をやってみたり、」
の部分だけ面白かった。

47 名前：59のおじさん：2004/06/13 12:45

出来上がってない部分は数学でない。
定義されて始めて数学の体系の一部になる。
途中の過程は低いものと見なされます。
ただし論証過程は教育的には意味の深いモノですが。
体系的なモノでなければ、結局は計算間違いみたいなもの。

48 名前：匿名さん：2004/06/13 15:15

数学は道具である
しかし数学はそれ以上に数学のためのモノでもある。

49 名前：匿名さん：2004/06/23 12:20

知らなくてもいいことなんて無いと思います。
もちろん優先すべきことを見失うのはいけないとは思いますけどね

50 名前：匿名さん：2004/06/23 13:25

そうそう。東大合格してから暇で死にそうなときに考えろ！