NO.10389796

0 名前：萩野暢雄：2006/07/10 14:29

　　　　　　　　　　　　はじめに

このゼミは理系一流校合格のためのものです。ですからかなりきついものもあるかも
知れませんが妥協せずについてきてください。
遅刻途中退出やる気の無い態度は禁止します。
今あなたがすべきことは予習です。ここで言う予習とはただただぶつかってくることです。
人生は選択です。
最後に次の言葉を贈ります。私の人生観そのものです。
「人は不可能だと思うとき、やりたくないと決心しているのである」
「あなたの葬式に出ている人のことを想像してごらんなさい。
　彼らはあなたの人生についてなんといっていますか。そしてなんといってほしかったですか。」

これから順次問題を書いていくので期日までに回答をしてください。
期日になると私が解説します。

１．素数が無限に存在することを証明せよ。(7月13日)

51 名前：匿名さん：2006/07/20 12:14

なんか怖いな。

52 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/20 13:03

多分心配するほどのことでもないでしょう。私に出せる問題の難易度など、
たかが知れています。

53 名前：奇数の完全数：2006/07/20 13:41

>>４８
別に批判するわけではないんですが、気分悪くしたらごめんなさい

この解答だと、あくまで予想に過ぎずきちっと帰納法？などで裏付けをする必要があります
私もいろいろ考えたんですが私の力量だと上記の連立漸化しきを用いる解法しか思い浮かびませんでした
何かうまい方法ないですかね。是非教えて欲しいです

54 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/20 14:04

帰納法、ですか・・・。僕も漸化式を想定して作ったので・・・
今から帰納法でやってみようと思います。

55 名前：荻野暢也：2006/07/21 04:25

或る数が条件を満たしたとする。
その数の適当な或る桁に対して1を加えたばあい、それは3で割れば1を剰余とするであろう。
2を加えた場合、それは2を剰余とするであろう。
ただし、3に1を加えれば1に戻るものとして考える。
これらの構成は、選ばれた数の性質、選ばれた桁の性質に依存せず普遍的に成り立つ。
また、この構成を、条件を満たすすべての数に対してすべての桁に対して行うことで、
3で割った剰余が0、1、2となる、同数の数を作り上げる。
また、一つの操作によって変化する数字は一つのみであるのに対し、
3の倍数を3の倍数に移すには最低二つの数を変化させる必要があることから、
この操作で構成される数に重複がないこと(操作が単射であること)は自明である。
(どのように異なる二つの3の倍数を選んできても、上記の操作によって同じ数に移ることはない)
また、操作の対称性ゆえに、逆の操作も単射である。ゆえに、この操作によってn桁の数を不足なく数え上げている。
ゆえに、1、2、3のみで構成されるn桁の数のうち、3で割った剰余がそれぞれ0、1、2であるものの数は互いに相等しい。
ゆえに852

56 名前：匿名さん：2006/07/21 06:28

ここにいる人たちって数学の偏差値一体どんくらいあるの？

57 名前：匿名さん：2006/07/21 08:21

さあ？

58 名前：名古屋人：2006/07/21 09:24

>>53やっぱりそうですよね。。。
上手く、頭の中のイメージを言葉にできないって言うか、記述力ないんですよね^^;
きっと、大学の入試だったら、この問題の
僕の点数は、１０点満点で２点ぐらいだと思います。
ぱっ、と、ひらめいたはいいけど、どうしよう・・・みたいなのが多くて^^;
>>56大したことないですよ～。６５いくかいかないかくらいですね。
あ、河合で。

59 名前：奇数の完全数：2006/07/21 12:54

>>５９
極限の問題なんかでも答え合ってても論理に欠陥ある場合はかなり減点されますからね
ここで切磋琢磨してお互い記述力を磨いていきましょう。

60 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/22 00:45

>>56 うーん、僕は安定しませんね。だいたい66～73(代ゼミ)くらいですかね。

61 名前：名古屋人：2006/07/22 12:01

>>59はい！是非ともよろしくお願いします。

>>60教え子さんも高校生なんですか！？
・・・賢い^^;
ちなみに志望大学はどのくらいなんでしょうか？

62 名前：奇数の完全数：2006/07/22 13:26

私は一応大学生ですが、、、
現役んときは偏差７０くらいですね(駿台全国)

63 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/22 15:13

一応地元が名古屋なので、名古屋市立か名古屋を志望に考えております。
今の私には荷が重いです。(>_<)

64 名前：名古屋人：2006/07/23 08:54

へぇー、もしかしたらすぐ近くにいるんですかね^^
僕はこないだも書いたように名大以上
具体的には名大理学部、東大理一ですねー
でもまだ受験勉強始めてないので、名大もあぶないです^^;

65 名前：母は仮面浪人：2006/07/23 11:50

>>64 そういえば名大理学部はもう何年後かに二次に国語が入るそうですね。
ひょっとしたら違うかもしれませんが。

66 名前：奇数の完全数：2006/07/23 13:41

三角関数を用いてπが無理数であることを証明するの教えてもらえませんか？

67 名前：名古屋人：2006/07/24 12:52

>>65　たぶん、平成２０年度からですね。
来年、今年度は医学部だけ国、数、英になったような気がします。
>>66 僕も気になります！教え子さん、お願いします。

68 名前：名古屋人：2006/07/24 12:57

すいません。間違えました。
医学部なのに、理科ないとかありえませんね^^;
国、数、英、理の間違いでした。
でも、そもそも今年度変わるっていう保障は僕はしかねますけど^^;

69 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/25 01:30

ｕｐが遅れて申し訳ない。熱で倒れてました。では早速。

πを有理数と仮定して、π=a/b(a,bは互いに素な整数)とおく。
ここで、原点をＯとする単位円を考える。第一象限の点Ｑを考えて一般性を失わない。
このとき、角ＰＯＱ=π/n 「nは正の任意定数」とおける。
弧ＰＱ=２×π/n×1/π=1/n -?
また、弧ＰＱ=1×π/n=π/n　-? とも書けるので、?、?を連立して、π=1⇔a/b=1
これは、a,bが互いに素であるという仮定に反する。
よって、背理法により、πは無理数である。

70 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/25 01:49

ごめんなさい。単位円くらいしか三角関数に関連してませんね。
もし解答に間違いなんかがあればご指摘をお願いします。

71 名前：奇数の完全数：2006/07/25 15:08

Pがいきなり登場していますがPはQとは違う単位円上の点と考えていいんでしょうか？
角ＰＯＱ=π/n 「nは正の任意定数」とおける
とありますが、nは任意ではなくQに依存するQの関数としないとまずくないですかね？
?なんですが、最後に１／πをかけているところがわからないんですが。

あくまでも自分の考えなんですが、高校数学におけるπの定義は基礎を線分や面積においている気がするので、図形的アプローチは困難な気がします
というのは、面積の定義すら説明できないのですから
πとは正無限角形において定義できる？ので極限と、積分にもπがよく出現することから
数３の内容を使って証明するのが自然な流れなんですかね。
積分漸化式を使う証明なら荻野先生が自作問題で作っておられました(とてもここに載せる気がおきないくらいごつい積分漸化式ですが)

72 名前：荻野暢也の教え子：2006/07/25 23:41

ｍｍｍ・・・は、反論できない・・・。(ノT□T)ノ　　僕の考え足らずだったかも。

?についてなんですが、すみません。書き間違えました。πではなく２πの間違いです。
「弧長」＝｛直径｝×π×｛角｝÷２πのつもりです。
あと、?については、πも抜けていますね。完全に私の答案は終わっております。(笑)
とりあえず、顔洗いなおしてもう一度考えてきます。(汗)

73 名前：奇数の完全数：2006/07/31 13:54

あなたの好きな３桁の数字を思い浮かべてください(ただし、１の位と１００の位は２以上差をつけてください)
まずはじめにその数の１の位と１００の位を入れ替えてください
はじめの数と入れ替えたものの差(☆とします)を作ってください(大きい方から小さいものを引いてください)
今度は先ほどと同様に、今の計算結果の１と１００の位を入れ替えたものをつくり
☆と今入れ替えたものの和を考えてください


１０８９じゃないですかね？

74 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 03:41

>>73 確かに１０８９ですね。

75 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 03:42

πが無理数であることの証明
　　　　　　　　　　 ｑ
πが有理数であると仮定すると，π２＝──となる０でない整数ｐ，ｑが
ある． ｐ

これを，３．で求めた式に代入すると
ｎ！ n ｐ
I＝ ── Σ (－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)( ── )ｋ
π k=0 ｑ

両辺にπｑｎをかけ，ｎ！で割ると

πｑｎ ｎ
───×Ｉ＝Σ(－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)ｐｋｑｎ－ｋ となる．
ｎ！ k=0

ここで，左辺は正の数であり，右辺は整数である．

よって，１以上の整数となる．
πｑｎ
４より,０＜Ｉ＜１なので ───≧１が全ての自然数ｎに対して成立する．
ｎ！

ｑｎ
ところが，[１]より ───はｎが大きくなると０に近づく．
ｎ！
πｑｎ
よって，ｎを大きくすると ───は１より小さくなる．
ｎ！
このように，πが有理数と仮定すると矛盾が生じる．

よって，πは無理数である.

76 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 03:58

πが無理数であることの証明
　　　　　　　　　　 　　　　　　　ｑ
πが有理数であると仮定すると，π２＝──となる０でない整数ｐ，ｑが
ある．　　　　　　　　　　　　　　 ｐ

これを，３．で求めた式に代入すると
　　ｎ！ n 　　　　　　　　　　　　　　ｐ
I＝ ── Σ (－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)( ── )ｋ
　　　π k=0 　　　　　　　　　　　　　ｑ

両辺にπｑｎをかけ，ｎ！で割ると

　　↓ｎ乗です
πｑｎ 　　　ｎ 　　　　　　　　　　　　　　　↓ｎ－ｋ乗です
───×Ｉ＝Σ(－１)ｋ(ａ２ｋ＋ｂ２ｋ)ｐｋｑｎ－ｋ となる．
ｎ！　　　 k=0 　　　　　　　　　　　　↑ｋ乗です

ここで，左辺は正の数であり，右辺は整数である．

よって，１以上の整数となる． ↓ｎ乗です
　　　　　　　　　　　　　πｑｎ
４より,０＜Ｉ＜１なので ───≧１が全ての自然数ｎに対して成立する．
　　　　　　　　　　　　　ｎ！
　　　　　　　　　　　　↓ｎ乗です
　　　　　　　　　　　ｑｎ
ところが，[１]より ───はｎが大きくなると０に近づく．
　　　　　　　　　　　ｎ！ 　↓ｎ乗です。
　　　　　　　　　　　　　πｑｎ
よって，ｎを大きくすると ───は１より小さくなる．
　　　　　　　　　　　　　　ｎ！
このように，πが有理数と仮定すると矛盾が生じる．

よって，πは無理数である.

77 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 04:01

77は76の補足です。見つ゛らかったら遠慮なく言ってください。
あと、遅ばせながら三角関数を使った解答を今から書かせていただきます。

78 名前：匿名さん：2006/08/03 07:07

東京医科歯科大学と東京大学理科?類じゃどちらが難しいですか？入試問題なども。

79 名前：匿名さん：2006/08/03 10:39

入るのは断然理?の方が難しいが入試問題は医科歯科の方が難しいだろう。

80 名前：奇数の完全数：2006/08/03 14:15

数学に関しては東大でしょうね。英語は医科歯科でしょうね

81 名前：奇数の完全数：2006/08/03 14:20

３の求めた式ってのがよくわからないんですが

82 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 14:38

すみません。

３の式というのは、

1　　n　　　　n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ　
　　　　ｎ！ｎ 　　　　 １
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
π K=0 ↑ 2k 2k 2k←2k乗
　　　　　　　　　　ｋ乗　　　　　　　 π　　　　　　　　のことです。
手違いがあって申し訳ない。

あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです。

83 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 14:40

すみません。

３の式というのは、

1　　n　　　　n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ　
　　ｎ！ｎ 　　　　 　　　１
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
　　π　K=0 ↑ 　　2k 　2k 　2k
　　　　　ｋ乗　　　　　　　 π　　　　　　　　のことです。
手違いがあって申し訳ない。 　↑
　　　　　　　　　　　　　　πの２ｋ乗　　

あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです

83はミスプリです。訂正します。

84 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 14:42

すみません。

３の式というのは、

　　　1　n　　　　n
I＝ ∫ ｘ・(１－ｘ)・sinπｘｄｘ　
　　　0
　　ｎ！ｎ 　　　　 　　　　　１
＝ ── Σ(－１)ｋ(ａ ＋ｂ )───
　　π　K=0 ↑ 　　2k 　2k 　　2k
　　　　　ｋ乗　　　　　　　 π　　　　　　　　のことです。
手違いがあって申し訳ない。 　↑
　　　　　　　　　　　　　　πの２ｋ乗　　

あと、４というのは,０＜Ｉ＜１ということです

83.84はミスプリです。訂正します。本当にすみません。

85 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/03 14:44

どうしてもずれちゃうな・・・・

86 名前：名古屋人：2006/08/05 09:03

お久しぶりです。
なんか、ものすごいですね・・・^^;僕はこんなのヒラメクの無理ですねぇ。
僕もそろそろ出題させていただきます。東大の過去問にこんなのありました。
「πが３．０５より大きな数であることを証明せよ」
回答があまりにもスマートで感動してしまいました。
みなさんも挑戦してみてください。

87 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/05 22:58

>>86 円周率は、「円周の直径に対する比の値」と定義されます。

ここで半径 １ の円に内接する正八角形を考えるとき、一辺の長さをｒとすると、円周は正八角形の周より長く、
　　　8 ＜ 2π　…（?）
さらに正８角形を八等分してできる三角形について余弦定理より、
ｒ2= 1 + 1 - 2・1・1・cos45°= 2 - √2
　↑2乗

　3.05の2乗 = 9.3025 ≦ 2 = 16 ( 2 - √2 )
　　√2 ＜ 1.415であり、 16√2 ＜ 16 × 1.415 = 22.64 となるから、
⇔　16√2 ≦ 22.698

よって3.05×3.05≦ 16×r×r <π×π　　となり、証明されます。

こんな感じでいかがでしょうか・・・・

88 名前：匿名さん：2006/08/06 03:26

同値の使い方以外は正しいですね

89 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/06 10:49

いやあ(笑)もう、いっぱいいっぱいですよ。かなり面白い、手応えのある問題ですね。

90 名前：匿名さん：2006/08/08 13:22

三角関数の解答は？？？

91 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/08 23:33

83、84、85の証明の事ですね。sinが式に出てくるから・・・三角関数では？(笑)

92 名前：匿名さん：2006/08/08 23:38

誰がどうみても積分漸化式なんだが

93 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/09 04:45

ごめんなさい。もう一回数学やり直します。今から眼科に行ってきます。

94 名前：匿名さん：2006/08/09 13:54

目何かあったの？？

95 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/09 14:07

受験勉強で視力が落ちてしまいました・・・

96 名前：匿名さん：2006/08/09 14:11

眼鏡デビューですか？？

97 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/09 21:57

いやあ(笑)、普段から伊達メガネかけているので、デビューというわけでは・・・

98 名前：匿名さん：2006/08/10 04:19

そうなんですか？笑 お洒落ですね。

99 名前：荻野暢也の教え子：2006/08/10 04:22

単に秀才に見られたいだけですよ(笑)
「お洒落」という意見は自分には新鮮でした。なんかありがとうございます。

100 名前：名古屋人：2006/08/10 08:55

遅くなってしまい申し訳ありませんでした。
教え子さん大正解です！
模範解答は十二角形でしたけどね！
あと、報告です。河合のマーク模試、死にましたｗ