NO.10420375

0 名前：オレンジ：2004/06/26 06:18

連続する４つの数字が２４の倍数であることを示しなさい。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（大阪市大）

1 名前：匿名さん：2004/06/26 06:22

連続する4個の整数の積は自然数nを用いて
4!*nC4=4*3*2*nC4=24*nC4

よって24の倍数

2 名前：オレンジ：2004/06/26 19:45

問題が間違ってました。
「連続する４つの数字の積が２４の倍数であることを示しなさい」です。

さらに自然数ですね。

頭の悪い私には、上の方の解答がわかりません。すいません。

3 名前：イヌ：2004/06/27 15:55

自分なりに解いてみましたがちょっと長いです…。

連続する４つの整数の積を
Ｆ（ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）と置く。
Ｆ（ｎ）が２４の倍数であると仮定すると、
（１）ｎ＝１の時　　Ｆ（１）＝１＊２＊３＊４＝２４となり成り立つ。
（２）ｎ＝ｋの時Ｆ（ｋ）＝ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）…?この式が成り立つと仮定すると
ｎ＝ｋ＋１の時　Ｆ（ｋ＋１）＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）（ｋ＋４）…?も成り立つが、

次に連続する３つの数について、
連続する整数の積をｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）とすると、
ｎ＝１の時は６となる。
またｎ＝ｋの時ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）…?が成り立つと仮定すると
ｎ＝ｋ＋１の時（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）…?

更に連続する２つの数字の整数の積はどちらかが偶数を含む為に２の倍数となるのは無論…?

?－?について、
＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）－ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）
＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３－ｋ）
＝３（ｋ＋１）（ｋ＋２）
?より連続する２つの数の積（ｋ＋１）（ｋ＋２）は２の倍数であると言え、
３（ｋ＋１）（ｋ＋２）、即ち連続する３つの数字の積は６の倍数である事が言える…?

次に?－?について
＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）（ｋ＋４）－ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）
＝（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）（ｋ＋４－ｋ）
＝４（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）
?より、連続する３つの数の積は６の倍数である事から、?－?が２４の倍数である事が言え、
連続する４つの数の積は２４の倍数であると言える。（終）
てなカンジで、連続する３つ、２つの数がそれぞれ２と６の倍数である事を証明してから４つの
数にいくという手段をとってみました。オレンジさんどうでしょうか？？？

4 名前：匿名さん：2004/06/27 16:05

>>2
仮定の取り方が変だと思う

＞ｎ＝ｋの時Ｆ（ｋ）＝ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）（ｋ＋３）…?この式が成り立つと仮定すると

ここの部分が変。
Ｆ（ｎ）＝ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）（ｎ＋３）とおいたんだから?が成り立つのは当たり前だよ

＞ｎ（ｎ＋１）（ｎ＋２）とすると、
＞またｎ＝ｋの時ｋ（ｋ＋１）（ｋ＋２）が成り立つと仮定すると

ここも。

5 名前：匿名さん：2004/06/27 16:12

3じゃなくて4だ。御免。
言ってることは4と同じだけどこんなのどうだろう？

連続する4つの整数をn(n+1)(n+2)(n+3)とおく。
この中のいずれか一つは２の倍数、この中のいずれか一つは３の倍数、
この中のいずれかひとつは４の倍数になるから
n(n+1)(n+2)(n+3)は2×3×4=24の倍数になる。

一般に連続するk個の整数の積について
この中のいずれか一つは２の倍数、この中のいずれかひとつは３の倍数
この中のいずれか一つは４の倍数･･･この中のいずれか一つはkの倍数
なので
連続するk個の整数の積は2×3×4×･･･×(k-1)×k=k!の倍数である

6 名前：オレンジ：2004/06/27 16:54

ありがとうございます。
６の方が模範解答です。
４の方があってるかどうかはわかりません。すいません。

7 名前：オレンジ：2004/06/27 17:13

問題
実数α、Β、γがα＋Β＋γ＝３を満たすとき、p＝αΒ＋Βγ＋γα、q＝αΒγとおく。
(1)p＝q＋２のとき、α、Β、γの少なくとも一つは１であることを示せ
(2)p＝３のとき、α、Β、γはすべて１であることを示せ。
（大阪市大　９６）

ちょっとこれはおもしろい問題ではないかもしれませんね。高校の知識がないと解けないかもしれません。
αΒγを変換するのが面倒でした。ABCでもかまいません。
ちなみに私は市大生ではありません。ただの数学好きです。偏差値50前後の法学部生です。

難関中学入試など問題をもっている人がいれば出してください。

8 名前：匿名さん：2004/06/28 00:37

>>7
α、β、γは方程式(x^3)-3(x^2)+px-q=0･･･?
の三解である
(1)
>>7
(2)で詰まっちゃった。出来たところまで。

p=q+2のとき、?は(x^3)-3(x^2)+(q+2)x-qとかける
f(x)=(x^3)-3(x^2)+(q+2)x-qとおくと
因数定理よりf(1)=0なので
f(x)は(x-1)を因数にもつ。
よって方程式(x^3)-3(x^2)+(q+2)x-q=0は解にx=1を持つので
題意は示された
(2)
p=3のとき?は(x^3)-3(x^2)+3x-q=0･･･?と書ける。
ここで、?をみたす実数解は
xy平面上でのy=(x^3)-3(x^2)+3xの放物線とy=qの直線の共有点である

9 名前：匿名さん：2004/06/28 00:40

変な風になっちゃった。

p=q+2かつp=3ならすぐ解けるんだけど
うーん・・・

10 名前：卑怯な帰納法：2004/06/28 13:19

(1)
（α－１）（β－１）（γ－１）
＝αβγ－（αβ＋βγ＋γα）＋（α＋β＋γ）－１
＝ｑ－ｐ＋３－１
＝０
よって　α＝１　または　β＝１　または　γ＝１

(2)
（α－１）＾２＋（β－１）＾２＋（γ－１）＾２
＝α＾２＋β＾２＋γ＾２－２（α＋β＋γ）＋３
＝α（３－β－γ）＋β（３－γ－α）＋γ（３－α－β）－２・３＋３
＝３（α＋β＋γ）－２（αβ＋βγ＋γα）－３
＝３・３－２・３－３
＝０
よって　α－１＝β－１＝γ－１＝０
ゆえに　α＝β＝γ＝１

11 名前：オレンジ：2004/06/28 16:31

９さんの解答はよくわかりませんでした。すいません。
１１さんの答えは正解ですね。
厳密に言えば（２）のその解答では満点はもらえないと思います。

模範解答
（２）
Ｍ＝(α－１)^２＋(β－１)^２＋(γ－１)^２　とおく
α、β、γは実数であるから、それらの中で１でないものがあればＭ＞０となる
したがって、Ｍ＝０が示されればよい
・
・
・
Ｍ＝０
ゆえにｐ＝３のときα、β、γはすべて１である。

解いてみると、頭が柔らかくなりそうですね。また問題を探してきます。

12 名前：オレンジ：2004/06/28 16:33

少し考えてみましたが、９さんの（１）の考え方は新しいですね。
すごいです。学校の先生とかでしょうか？

13 名前：匿名さん：2004/06/28 18:01

いまさらですけど>>4=6の人より>>3の人の方が証明として正しいと思う。

＞Ｆ（ｎ）が２４の倍数であると仮定すると

以外は。

14 名前：匿名さん：2004/06/29 05:44

>>8
＞xy平面上でのy=(x^3)-3(x^2)+3xの放物線とy=qの直線の共有点である

そこまで出たのなら後はq=1以外は虚数解で不適であることを言えばよいよ。

いまdy/dx=3(x-1)^2より放物線は単調増加。
また導関数3(x-1)^2についてもx=1以外0にはなりえないので
(二回微分d^2y/dx^2=6(x-1)より凹凸を調べて)放物線とx軸に平行な直線y=qを図示すると
確かにx=q=1のときにのみ3重解を持ちそれ以外は一つの実数解と異なる二つの虚数解を持つ。

以上より証明された

15 名前：匿名さん：2004/06/29 08:16

場所１から場所ｎに異なるｎ個のものが並んでいる。これらを並べ替えてどれもが元の位置に
ならないようにする方法の総和をＤ(n)とする。ただし、ｎ≧２とする。

（１）ｎ＝４の場合の並べ替え方を全て書き出して、Ｄ(４)を求めよ。

（２）ｎ≧４に対して
　　　　　Ｄ(n)＝（ｎ－１）｛Ｄ(ｎ－２)＋Ｄ(ｎ－１)｝
　　　　を証明せよ。

16 名前：匿名さん：2004/06/29 08:48

>>15
(2)がむつかしいー断念

場所1～nが左から順に並んでいるとする。
そして試行開始前に場所1にある物体を?、場所2にあるのを?･･･とすると
(1)
(????)、(????),(????)
(????)、(????),(????)
(????)、(????),(????)
でD(4)-9
(2)
Ｄ(n)＝（ｎ－１）｛Ｄ(ｎ－２)＋Ｄ(ｎ－１)｝ の最初の(n-1)は
場所1における物体の選び方で(n-1)通りと言うことはわかったけど
物体2～物体nまでの並び方がD(n-2)+D(n-1)というのが難しい･･･

17 名前：匿名さん：2004/06/29 09:57

>>16
簡単ではないです。ちなみに出典は、東工大後期日程、です。

18 名前：11：2004/06/30 14:19

>>11
＞厳密に言えば（２）のその解答では満点はもらえないと思います。

理由を教えて欲しいなぁ

19 名前：11：2004/06/30 14:22

ああ、後半に書いてあったね　省略せず書けってことか　略解ｽﾏｿｗ

20 名前：math：2004/07/06 21:46

周の長さが一定値ｄの平行四辺形はいろいろあるがこの中で２本の対角線の長さの２乗の和が最小になる時その値をdで表せ

21 名前：イヌ：2004/07/08 12:08

周の長さが一定値ｄの平行四辺形ABCDにおいて
AB＝ｘとおくと、BC＝ｄ／２－ｘ（同様にDC＝ｘ、AD＝ｄ／２－ｘ）
また角度ABCをθとおく
二本の対角線の２乗の和をｙとすると
ｙ＝AC2＋BD2
　＝ｘ2＋（ｄ／２－ｘ）2－２ｘ（ｄ／２－ｘ）cosθ
　＋ｘ2＋（ｄ／２－ｘ）2＋２ｘ（ｄ／２－ｘ）cosθ
　＝４ｘ2－２ｄｘ＋ｄ2／２
　＝４（ｘ－ｄ／４）2＋ｄ2／４
よって、ｘ＝ｄ／４の時に最小値ｄ2／４を取る。

22 名前：理科大生：2004/07/09 04:41

中線定理を使うとスマートに解けますよ