NO.10420391

0 名前：オレンジ：2004/11/06 14:00

さて、議論のある問題だと思います。
みなさんの意見聞かせてもらえませんか？

私の中学生を納得させる解法
0.99999･････＝Xとおく。
0.99999･････×10＝10X
9.99999･････＝10X
9.99999･････－X＝10X－X
9＝9X
X＝1　ゆえ
0.9999999･･････＝1

101 名前：匿名さん：2006/10/19 02:18

近似値

102 名前：匿名さん：2006/11/26 17:38

厳密な極限ってうろ覚えだけど
どんなにちいさな数を定義(たとえば0.000001)しようとしても
極限を深くするにつれてそれよりも小さい間の数（たとえば1-0.9999999）を見つけられてしまう
だったら同じ数だってことにしてしまえばいいやん、ってことだよね？あってる？

103 名前：匿名さん：2006/11/26 17:44

画面が更新されてなくて気付かなかったけどもう103もレスがついてたのな。
完全に話が堂々めぐりしててﾜﾗﾀｗ哲学問題じゃないんだからｗｗｗ

104 名前：匿名希望：2006/11/30 13:46

>>19見て気づいたんだけどさ。
1÷3×3=1/3×3
ってことだよね？この場合に答えは1になる。
でも、1÷3×3=0.3333333333.....×3
だったら答えは0.9999999999.....になるじゃん。

やっぱり1=0.9999999999.....なんじゃないの？

105 名前：匿名希望：2006/11/30 13:49

よく見たら>>70がほぼ同じ事言ってた…
吊ってきますorz

106 名前：匿名さん：2006/11/30 19:45

だから、1/3≠0.333...だってのｗ

107 名前：匿名希望：2006/12/01 08:24

でもさ、0.333......×3＝0.999......
でしょ？
0.999......＝1なら
1/3=0.333.....でOKじゃないの？

あーなんか無限ループしてる…

108 名前：匿名さん：2006/12/01 15:29

　先ず第一に、0.999...=1かどうかが問題なんだから
「0.999......＝1なら1/3=0.333.....でOKじゃないの？」
というのは意味がない。
　

109 名前：匿名さん：2006/12/04 11:02

0.9999…=1の=は左辺ｲｺｰﾙ右辺の意味ではなく、極限を取るという意味だった気がする
違ってたらすまん

110 名前：匿名さん：2006/12/04 20:06

そうですね。とするとイコールの意味が異なったものになる。
例え、極限の１とイコールだといっても、それはイコールの意
味を飛躍させてるということになりそう。要するに＝の意味を
変えてることになる。結局、等しくないけれども等しいと言っ
てることになる。おかしな等式である。

111 名前：匿名さん：2007/02/07 05:17

散々既出
> 9.99999･････－X＝10X－X
> 9＝9X
この行間にトリックがある。
10X - X = 9
9.99999･･ - X = 9
という、前提が異なる別々の式を暗黙に連立させて等号で結んでいる。

112 名前：初めての住人：2007/02/07 12:00

この話について行けない・・・。

113 名前：匿名さん：2007/02/07 13:51

多項式におきかえて途中で煙に巻くトリックとか、いろいろある。
たいてい x=1 について語っていた式が、x=0 について「も」語っている式にすりかえる、というようなものが多い。
数式はただの数値の操作ではなく、言語と同じように文脈や言質というものがある。
無意味に２次方程式にして、解を２つ見つけて、２値が同じだと言うのと同じようなもの。
小学生を釣るにはいいが。

114 名前：ABC：2007/04/12 06:45

以下は２チャンネルに投稿した別の証明です。
２チャンネルの記事が格納されてしまったのでここに投稿します。

前提　かけ算とわり算の順序を逆にしても答は同じになる。

この前提を正しいと認める人は次に進んでください。

A×９÷９＝A÷９×９

この等式を正しいと認める人は次に進んでください。

A=１のとき
左辺は　１×９÷９＝１
右辺は１÷９×９＝0.1111...×９＝0.9999...

蛇足　ケータイの電卓機能を使ってこの計算をするとある会社のケータイは
　　　右辺も左辺も計算結果が１になります。ということは
　　　0.9999...＝１　が正しいものとしてプログラミングされているということです。
前提により両者は等しい。

よって0.9999...＝１　（証明終わり）

蛇足　最近のケータイの中には蒸気の計算が右辺も左辺も
　　　１になるものがあります。これは　0.9999...＝１　を
　　　正しいものとしてプログラミングしてあるのだと言えるでしょう。
　　　ちなみに関数電卓では以前からそうなりました。

115 名前：マロ：2007/04/12 12:26

?

116 名前：初めての住人：2007/04/12 12:55

僕は単に四捨五入で良いと思いますが・・・。逆鱗に触れたらごめんなさい・・・。

117 名前：マロ：2007/04/12 13:03

?(｀∧´)??

118 名前：ABC：2007/04/13 05:53

すみません、「蒸気」はもちろん「上記」の誤りです。
チェックしないで投稿してしまいました。

お詫びに別の証明をのせます。前の証明もこの証明も
自分で考えたものです。パクリではありません。
仮に他のどこかにあったとしても、偶然の一致です。

循環小数は分数に直すことができる。
なので、0.1111...＝９分の１
両辺を９倍すると、0.9999...＝９分の９＝１　となる。
（証明終わり）

※　ここは２チャンネルと違って言葉遣いが比較的丁寧でいいですね。

※　興味を示す人がいるなら、もう少し難しい証明を投稿する用意があります。
　　ただし、数学の教師でもなかなか分からないしろものです。それについて
　　「難しい言葉で煙に巻く政治屋みたいなことすんな！」という反応が
　　２ちゃんねるで出ました。難しい証明は勉強しないと分からないんですけど。
　　理解する努力をしないで開き直るのはやめましょう。
　　アメリカにも同じようなサイトがあります。中身は肯定派と否定派が
　　相半ばしています。だけど否定派を肯定派に宗旨替えさせるのが困難なのは
　　アメリカでも同じです。

119 名前：匿名さん：2007/04/22 08:26

まず分数と少数は違うってことを頭に置いとかなきゃねえ。
これは小学校で習う定義でオーケー。
分数なら１を○個に分けたもののうち、△の量を△/○って表す、みたいな。

土台の定義の時点で、分数と小数は違う。
どっちかを、異なったどっちかで表すからずれるんだ。

上記に合った「無限に掛け算が出来るのか？」という疑問に、私は同意します。
いえ、出来ないと思います。
だって私たちには認識できない世界ですから。
この討論は無駄でしょう？

120 名前：色とり忍者：2007/04/23 14:24

ｼｭｯｼｭｯｼｭｼｭｼｭ赤いキツネ!!

121 名前：色とり忍者：2007/04/23 14:24

色とりでごさる!!ｼｭｯｼｭｯｼｭｼｭｼｭ赤いキツネ!!

122 名前：ABC：2007/05/07 23:34

反対党の皆さんは、１＞0.9999…であり、しかも両者は隣接していると
思っているのではありませんか？　だとすれば、１よりわずかに大きい
隣接数は、１＋（１－0.9999…）ということになりますね。

ところが、１と0.9999…の間にはいかなる数も存在しないのです。
（すると主張する方はそれを証明しなければなりません。）

そもそも１より小さい隣接点と、１より大きい隣接点を表すことは
不可能なのです。

孔子は「思いて学ばざれば則ちあやうし」と言いました。
反対党員の皆さんも思ってばかりでなく学習もしましょう。
学習しない人との討論は無駄だと私も感じています。　

123 名前：メ龍：2007/05/11 11:33

1-0.999999・・・＝0.000000・・・・・・
差がないから
１＝0.999999・・・
これはだめ？

124 名前：匿名さん：2007/05/11 12:14

>>123
だめ。
数学なら普通にlimit使うのが一番らくだと思う。
算数なら*9の方法でいいでしょう。

125 名前：初めての住人：2007/05/16 14:00

色取り

シュッシュシュシュシュ！赤いキツネ！シュッシュ！カップラーメン！シュッシュ！ブルーな気持ち！

126 名前：中学生？：2007/08/16 13:51

1に10をかけたら10になるし
0.01に10をかけたら0.10に。
もし0.999･････････にも10をかけたら9.999････････0になりますよね。
そこに0.999･･･････をひいたら
8.999･･･････1になるから
そこに9を割れば0.999･････････になりますよね。


はいサーセン(^_^;)

127 名前：匿名さん：2007/08/16 14:33

9.999････････0になるっけ？

128 名前：中学生？：2007/08/17 04:04

所詮素人考えです

129  名前：投稿者により削除されました

130 名前：匿名さん：2007/09/30 15:38

0.999･･･≠1

でok

131 名前：匿名さん：2007/10/14 06:22

まぁつまり1は1であって1は0.999･･･ではないよな

こんがらがってきた

132 名前：匿名さん：2008/02/03 00:42

まぁ所詮は近似値だからな

133 名前：匿名さん：2008/05/23 02:43

0.999…=1　ですよ。

134 名前：匿名さん：2009/05/25 05:14

0.99999…＝?(n=0～無限)　0.9(0.1)^nとして
　　　 　＝0.9＊1/(1-0.1)
　　　 ＝0.9＊1/0.9
　　　　 ＝１
ではだめでしょうか？

135 名前：はげ丸：2009/06/28 19:26

私、文系なんですけど、
教養の講義で数学の先生が以下のように言ってました。
1＝0.99999999999999999---は本当です。
1/3＝0.33333333----だから両辺に3をかけて
1＝0.999999----ですよ。
ちなみに一応、旧帝大です。

136 名前：匿名さん：2010/02/19 20:22

高?とか?になったら習うから?
きにすんなｗｗ

137 名前：千葉：2010/02/20 21:50

オレンジさんへ
Ｘは変数でしょうか？定数でしょうか？

一般的に変数と考えますと
X=0.9999999･････ とおくことは、できません。
Ｘは、わからないのですから。

また定数と考えますと
Ｘを求める方程式は作ることができません。
X=0.9999999･････ と決まっているのですから。

この解法はＸを変数としている部分と
定数としている部分がまざっています。

ちなみに
変数とは、これから求めようとする数
定数とは、最初から値が決まっている数
という意味で使っています。

138 名前：千葉：2010/02/26 22:51

追加します。
１行目が正しければ２行目は単なる数式です。
２行目を方程式と考えて解く途中でＸに代入してはいけません。
４行目の左辺のＸに0.9999999･････を代入したことが、まちがいです。

例えば次の方程式を解いてみましょう。
１０－Ｘ＝８
答えは
Ｘ＝２
この答えは、計算した結果出た答えでＸに何かを代入したのではありません。
仮にＸに２を代入してみましょう。
１０－２＝８
これはもう方程式としては成立しません。

ですから５行目の本当の意味とは
左辺だけに　(X-0.9999999･････)　を足しただけという事になります。

そこで右辺にも同じ数を足してみましょう。
9=10X-0.9999999･････　　（新５行目）
この方程式をさらに解くと
X=0.9999999･････
となり何の矛盾もありません。
Ｘは１ではありません。

139 名前：千葉：2010/06/13 02:44

分数や掛け算・割り算を使って証明される方がいますが、間違いだと思います。
（例）
０．９９９９・・・　＝　１÷９×９
　　　　　　　　　　＝　９分の１　×　９
　　　　　　　　　　＝　１

正しいようにみえますが、間違いです。
９分の１とは、どのような数なのでしょうか。
小数であらわすと　０．１１１１・・・　です。
このような数を循環小数というそうです。
循環小数は、単に表現方法であって、そのような数値は、ありません。

例えば
０．９９９９・・・　という数を数直線上で指し示しなさい。
という問題に誰も答えられないということです。
ただ限りなく１に近いことは想像出来ますが、そのような地点は無いということです。

また別の言い方をしますと
１÷９の答えは、小数点以下１が続きますが、どこで終わるのでしょうか。
終わりがありませんよね。
終わりがないということは、計算が完結できないということになります。
つまり、答えは無いということになります。

０．１１１１・・・　とは
０．１１１１　　　と　０．１１１２　　　の間
０．１１１１１　　と　０．１１１１２　　の間
０．１１１１１１　と　０．１１１１１２　の間
　　　・　　　　　　　　　・
　　　・　　　　　　　　　・
　　　・　　　　　　　　　・
このように循環小数は、数値の範囲は定めることは出来ても、
値を定めることはできません。
つまり、この世に数値として存在しない数字なのです。

よって循環小数は計算式に使えません。
ただ分数の特性上、約分によって無理やり計算できてしまうところがいけないのです。
９分の１とは、本当は計算できない数字なのです。（この世に数値として存在しない数字だから）

結論
循環小数は、この世に数値としては存在しない数字である。
循環小数は、計算してはいけない数字である。（永遠に答えがでないから）
０．９９９９・・・　は　１　ではありません。

訂正
前回、私は循環小数を計算に使って証明しました。
厳密にいえば、間違いかもしれません。
方程式の解き方の誤りを指摘したかっただけです。
申し訳ありません。

140  名前：投稿者により削除されました

141 名前：☆☆☆：2011/08/18 14:22

0.999・・・＝10分の9＋10の2乗分の9＋・・・（単項式の数をｎとする）
　　　　　　＝10分の9＋10の2乗分の9＋・・・＋10のｎ乗分の9　　
　　　　　　　注　　　ｎは有限ではない
　　　　　　　10のｎ乗分のをｘとする
　　　10ｘ＝（10分の9＋10の2乗分の9＋・・・＋10のｎ乗分の9）×10
　　　　　＝9＋10分の9＋10の2乗分の9＋・・・＋10の（ｎ－1）乗分の9
（10ｘ）－ｘ＝
9＋10分の9＋10の2乗分の9＋・・・＋10の（ｎ－1）乗分の9
－10分の9＋10の2乗分の9＋・・・＋10の（ｎ－1）乗分の9＋10のｎ乗分の9
＝9－10のｎ乗分の9（8.999・・・1）
　　　　9ｘ＝9－10のｎ乗分の9
　　　　　ｘ＝1－10のｎ乗分の1
　　よって1－0.999・・・＝10のｎ乗分の1である
　　これで証明にならないんですかね？
　　

142 名前：☆☆☆：2011/11/27 09:34

訂正　　10のｎ乗分のをｘとする→0.999・・・をｘとする

143  名前：投稿者により削除されました

144  名前：投稿者により削除されました

145 名前：匿名さん：2014/03/21 19:10

数研出版 [改訂版] 数学? にも1=0.9999……は正しいとされてる。

146 名前：Ｈｏｌｍｅｓ：2015/01/31 13:43

１≠０．９９９９・・・・なら　
１－０．９９９９・・・・　は当然答えがでる。　
ではその答えは？　
おそらく０．００００・・・・１　だがその最後の「１」は何桁目かわからない。　
つまり最後の「１」は作る事ができない。よって１≠０．９９９９・・・・が間違いで　
１＝０．９９９９・・・・　
どうですか？

147 名前：てんさい：2015/01/31 13:46

分からないからxを使うんじゃん！

１＝０.９９９９９９９・・・
なんてあるか―

148 名前：通りすがり：2017/06/17 19:13

単純に表記の問題。
0.9、0.99、0.999、0.9999、…　と続けていったときにこれは「ある数」に近づいていく。
その近づいていく「ある数」の事を数学では0.999…と表すルールになっている。
その「ある数」は1に等しい。
よって0.999…＝１
表記が変わっただけで同じものを表している。

参考文献
数学ガールの3巻のゲーテルの不完全性定理

興味があったら読んでみそ

149 名前：匿名さん：2017/07/29 02:24

0.999…を数字として見ていることがまず間違い
これは1を極限を用いて表示したもの
あくまで数式であって数字ではない
変な例だけど0=lim[x→∞](1/x)と表すのと同じ

150 名前：匿名さん：2017/12/19 14:50

あ